Geboren in Belgrad (Serbien), studierte Miloš Dopsaj zunächst an der Fakultät für Musik in Belgrad bei Prof. Mirko Isaeski. Ab dem Jahr 2004 setzte er sein Studium an der Universität der Künste in Berlin fort, wo er sein Diplom und sein Konzertexamen bei Prof. Eckart Hübner erfolgreich abschloss.

Seine musikalische Karriere begann er als Gewinner mehrerer nationaler Wettbewerbe in ehemaligen Jugoslawien, sowohl als Solofagottist als auch in verschiedenen kammermusikalischen Ensembles.

Er nahm an zahlreichen Meisterkursen für Fagott und Kammermusik teil, unter anderem bei renommierten Musikern wie Gabor Janota, Knut Sönstenvold und Aurèle Nicolet. Des Weiteren spielte er in verschiedenen Jugendorchestern wie dem JO »Borislav Pašćan«, der Jungen Donau Philharmonie, dem RIAS Jugendorchester und war beim Festival junger Künstler in Bayreuth aktiv.

Bereits im Alter von 18 Jahren erhielt Miloš Dopsaj seine erste Festanstellung als Solofagottist im Sinfonieorchester »Stanislav Binički« in Belgrad. Anschließend war er an der Nationaloper in Belgrad tätig. Während seines Studiums in Berlin erhielt er 2008 einen Zeitvertrag beim Osnabrücker Symphonieorchester und wurde zwei Jahre später als zweiter Fagottist mit Kontrafagott festangestellt. Im Jahr 2016 wechselte er zum Sinfonieorchester Münster, wo er bis heute als Solofagottist wirkt.

Seit 2023 ist Miloš Dopsaj als Dozent im Hauptfach Fagott an der Musikhochschule Münster tätig, wo er sein umfangreiches Wissen und seine Erfahrung an die Studierenden weitergibt. Diese Lehrtätigkeit stellt einen weiteren wichtigen Schritt in seiner Karriere dar.